Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BDHF và BCEF nội tiếp.
b) Chứng minh FC là tia phân giác của \(\widehat{EFD}\).
c) Hai đường thẳng EF và BC cắt nhau tại M. Đường thẳng qua B và song song với AC cắt AM tại I và cắt AH tại K. Chứng minh tam giác HIK là tam giác cân.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O đường kính r các đường cao AD BE CF cắt nhau tại H
a)Chứng minh tứ giác BDHF , BCEF nội tiếp
b) cm AE.AC=AB.AF
c) cm FC là tia phân giác góc DFE
a: Xét tứ giác BDHF có
\(\widehat{BDH}+\widehat{BFH}=180^0\)
Do đó: BDHF là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BCEF có
\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
Do đó: BCEF là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\widehat{BAE}\) chung
Do đó: ΔAEB∼ΔAFC
Suy ra: AE/AF=AB/AC
hay \(AE\cdot AC=AB\cdot AF\)
cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (o).Các đường cao AD,BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H
a,chứng minh BCEF và CDHE là các tứ giác nội tiếp
b,chứng minh EB là tia phân giác của góc FED và tam giác BFE đồng dạng với tam giác DHE
a: Xét tứ giác BCEF có
\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\)
nên BCEF là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác CDHE có
\(\widehat{HDC}+\widehat{HEC}=180^0\)
Do đó: CDHE là tứ giác nội tiếp
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh BCEF và CDHE là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh EB là tia phân giác của góc FED và tam giác BFE đồng dạng vói tam giác DHE.
c) Giao điểm của AD với đường tròn (O) là I (I khác A), IE cắt đường tròn (O) tại K (K khác I). Gọi M là trung điểm của đoạn thằng EF. Chứng minh rằng ba điểm B, M, K thẳng hàng.
a: góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC nội tiếp
góc CDH+góc CEH=90+90=180 độ
=>CDHE nội tiếp
b: góc AFH+góc AEH=180 độ
=>AFHE nội tiếp
góc FEH=góc BAD
góc DEH=góc FCB
mà góc BAD=góc FCB
nên góc FEH=góc DEH
=>EH là phân giác của góc FED
Xét ΔBFE và ΔDHE có
góc BEF=góc DEH
góc BFE=góc DHE
=>ΔBFE đồng dạng với ΔDHE
Cho ∆ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác AEHF và BCEF nội tiếp
b) Hai đường thẳng EF và BC cắt nhau tại M. Chứng minh MB.MC=ME.MF
c) AM cắt đường tròn (O) tại N. Đường thẳng qua B và song song với AC cắt AM tại I và cắt AH tại K. Chứng minh AN ⊥ HN và HI=HK.
a: góc AEH+góc AFH=180 độ
=>AEHF nội tiếp
góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC nội tiếp
b: BFEC nội tiếp
=>góc BFE+góc BCE=180 độ
=>góc MFB=góc MCE
Xét ΔMFB và ΔMCE có
góc MFB=góc MCE
góc M chung
=>ΔMFB đồng dạng với ΔMCE
=>MF/MC=MB/ME
=>MF*ME=MB*MC
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), (AB < AC), hai đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) CM: BCEF nội tiếp.
b) Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh: FC là tia phân giác của DFE và EFDN nội tiếp.
c) Đường thẳng vuông góc AB tại A cắt BE tại I. Qua A vẽ đường thẳng song song BC cắt EF tại M. MI cắt AH tại T. Chứng minh T là trung điểm của AH.
a) Xét tứ giác BCEF có
\(\widehat{BEC}=\widehat{CFB}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{BEC}\) và \(\widehat{CFB}\) là hai góc cùng nhìn cạnh BC
Do đó: BCEF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
Câu 8 (3 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tamO * (AB < AC) . 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp và OA vuông góc EF b) Gọi N là trung điểm BC. Chứng minh FC là tia phân giác của góc DFE và tứ giác EFDN nội tiếp; c) Đường thẳng vuông góc AB tại A cắt BD tại I. Qua A vẽ đường thẳng song song BC cắt EF tại M. MI cắt AH tại T; vẽ AK vuông góc MT tại K. Chứng minh T là trung điểm AH.
Câu 8:
a) Xét tứ giác BFEC có
\(\widehat{BFC}\) và \(\widehat{BEC}\) là hai góc cùng nhìn cạnh BC
\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\left(=90^0\right)\)
Do đó: BFEC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Vẽ ba đường cao AD;BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác AFHE và tứ giác BFEC là các tứ giác nội tiếp đường tròn
b) Đường thẳng EF cắt BC tại I. Chứng minh IE.IF=IB.IC
c) AI cắt đường tròn (O) tại K. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm K,H,M thẳng hàng
a: góc AFH+góc AEH=180 độ
=>AEHF nội tiếp
góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC nội tiếp
b: BFEC nội tiếp
=>góc IBF=góc IEC
Xét ΔIBF và ΔIEC có
góc IBF=góc IEC
góc I chung
=>ΔIBF đồng dạng với ΔIEC
=>IB/IE=IF/IC
=>IB*IC=IE*IF
